高中數學反證法綜合測試題
一、選擇題
1．否定結論“至多有兩個解”的說法中，正確的是()
A．有一個解
B．有兩個解
C．至少有三個解
D．至少有兩個解
[答案] C
[解析] 在邏輯中“至多有n個”的否定是“至少有n＋1個”，所以“至多有兩個解”的否定為“至少有三個解”，故應選C.
2．否定“自然數a、b、c中恰有一個偶數”時的正確反設為()
A．a、b、c都是奇數
B．a、b、c或都是奇數或至少有兩個偶數
C．a、b、c都是偶數
D．a、b、c中至少有兩個偶數
[答案] B
[解析] a，b，c三個數的奇、偶性有以下幾種情況：①全是奇數；②有兩個奇數，一個偶數；③有一個奇數，兩個偶數；④三個偶數．因為要否定②，所以假設應為“全是奇數或至少有兩個偶數”．故應選B.
3．用反證法證明命題“三角形的內角中至少有一個不大于60”時，反設正確的是()
A．假設三內角都不大于60
B．假設三內角都大于60
C．假設三內角至多有一個大于60
D．假設三內角至多有兩個大于60
[答案] B
[解析] “至少有一個不大于”的否定是“都大于60”．故應選B.
4．用反證法證明命題：“若整系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數”時，下列假設正確的是()
A．假設a，b，c都是偶數
B．假設a、b，c都不是偶數
C．假設a，b，c至多有一個偶數
D．假設a，b，c至多有兩個偶數
[答案] B
[解析] “至少有一個”反設詞應為“沒有一個”，也就是說本題應假設為a，b，c都不是偶數．
5．命題“△ABC中，若B，則ab”的結論的否定應該是()
A．a
B．ab
C．a＝b
D．ab
[答案] B
[解析] “ab”的否定應為“a＝b或ab”，即ab.故應選B.
6．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關系為()
A．一定是異面直線
B．一定是相交直線
C．不可能是平行直線
D．不可能是相交直線
[答案] C
[解析] 假設c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線．故應選C.
7．設a，b，c(－，0)，則三數a＋1b，c＋1a，b＋1c中()
A．都不大于－2
B．都不小于－2
C．至少有一個不大于－2
D．至少有一個不小于－2
[答案] C
[解析] a＋1b＋c＋1a＋b＋1c
＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c
∵a，b，c(－，0)，
a＋1a＝－－a＋－1a－2
b＋1b＝－－b＋－1b－2
c＋1c＝－－c＋－1c－2
a＋1b＋c＋1a＋b＋1c－6
三數a＋1b、c＋1a、b＋1c中至少有一個不大于－2，故應選C.
8．若P是兩條異面直線l、m外的任意一點，則()
A．過點P有且僅有一條直線與l、m都平行
B．過點P有且僅有一條直線與l、m都垂直
C．過點P有且僅有一條直線與l、m都相交
D．過點P有且僅有一條直線與l、m都異面
[答案] B
[解析] 對于A，若存在直線n，使n∥l且n∥m
則有l∥m，與l、m異面矛盾；對于C，過點P與l、m都相交的直線不一定存在，反例如圖(l∥)；對于D，過點P與l、m都異面的直線不唯一．
9．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”，乙說：“甲、丙都未獲獎”，丙說：“我獲獎了”，丁說：“是乙獲獎了”，四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是()
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
[答案] C
[解析] 因為只有一人獲獎，所以丙、丁只有一個說對了，同時甲、乙中只有一人說對了，假設乙說的對，這樣丙就錯了，丁就對了，也就是甲也對了，與甲錯矛盾，所以乙說錯了，從而知甲、丙對，所以丙為獲獎歌手．故應選C.
10．已知x10，x11且xn＋1＝xn(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1,2…)，試證“數列{xn}或者對任意正整數n都滿足xnxn＋1，或者對任意正整數n都滿足xnxn＋1”，當此題用反證法否定結論時，應為()
A．對任意的正整數n，都有xn＝xn＋1
B．存在正整數n，使xn＝xn＋1
C．存在正整數n，使xnxn＋1且xnxn－1
D．存在正整數n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)0
[答案] D
[解析] 命題的結論是“對任意正整數n，數列{xn}是遞增數列或是遞減數列”，其反設是“存在正整數n，使數列既不是遞增數列，也不是遞減數列”．故應選D.
二、填空題
11．命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結論的否定是________．
[答案] 沒有一個是三角形或四邊形或五邊形
[解析] “至少有一個”的否定是“沒有一個”．
12．用反證法證明命題“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”，那么反設的內容是________________．
[答案] a，b都不能被5整除
[解析] “至少有一個”的否定是“都不能”．
13．用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：
①A＋B＋C＝90＋90＋180，這與三角形內角和為180相矛盾，則A＝B＝90不成立；
②所以一個三角形中不能有兩個直角；
③假設A，B，C中有兩個角是直角，不妨設A＝B＝90.
正確順序的序號排列為____________．
[答案] ③①②
[解析] 由反證法證明的`步驟知，先反證即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結論即②，即順序應為③①②.
14．用反證法證明質數有無限多個的過程如下：
假設______________．設全體質數為p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.
顯然，p不含因數p1、p2、…、pn.故p要么是質數，要么含有______________的質因數．這表明，除質數p1、p2、…、pn之外，還有質數，因此原假設不成立．于是，質數有無限多個．
[答案] 質數只有有限多個 除p1、p2、…、pn之外
[解析] 由反證法的步驟可得．
三、解答題
15．已知：a＋b＋c0，ab＋bc＋ca0，abc0.
求證：a0，b0，c0.
[證明] 用反證法：
假設a，b，c不都是正數，由abc0可知，這三個數中必有兩個為負數，一個為正數，
不妨設a0，b0，c0，則由a＋b＋c0，
可得c－(a＋b)，
又a＋b0，c(a＋b)－(a＋b)(a＋b)
ab＋c(a＋b)－(a＋b)(a＋b)＋ab
即ab＋bc＋ca－a2－ab－b2
∵a20，ab0，b20，－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)0，即ab＋bc＋ca0，
這與已知ab＋bc＋ca0矛盾，所以假設不成立．
因此a0，b0，c0成立．
16．已知a，b，c(0,1)．求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時大于14.
[證明] 證法1：假設(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正數，1－a、1－b、1－c都是正數.(1－a)＋b2(1－a)b＞14＝12，
同理(1－b)＋c2＞12，(1－c)＋a2＞12.
三式相加，得
(1－a)＋b2＋(1－b)＋c2＋(1－c)＋a2＞32，
即32＞32，矛盾．
所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于14.
證法2：假設三個式子同時大于14，即(1－a)b14，(1－b)c14，(1－c)a14，三式相乘得
(1－a)b(1－b)c(1－c)a143①
因為01，所以0a(1－a)1－a＋a22＝14.
同理，0b(1－b)14，0c(1－c)14.
所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c143.②
因為①與②矛盾，所以假設不成立，故原命題成立．
17．已知函數f(x)是(－，＋)上的增函數，a，bR.
(1)若a＋b0，求證：f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)；
(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結論．
[解析] (1)證明：∵a＋b0，a－b.
由已知f(x)的單調性得f(a)f(－b)．
又a＋bb－af(b)f(－a)．
兩式相加即得：f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)．
(2)逆命題：
f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)a＋b0.
下面用反證法證之．
假設a＋b0，那么：
a＋ba－bf(a)f(－b)a＋bb－af(b)f(－a)
f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)．
這與已知矛盾，故只有a＋b0.逆命題得證．
18．(2010湖北理，20改編)已知數列{bn}的通項公式為bn＝1423n－1.求證：數列{bn}中的任意三項不可能成等差數列．
[解析] 假設數列{bn}存在三項br、bs、bt(rt)按某種順序成等差數列，由于數列{bn}是首項為14，公比為23的等比數列，于是有btbr，則只可能有2bs＝br＋bt成立．
21423s－1＝1423r－1＋1423t－1.
兩邊同乘3t－121－r，化簡得3t－r＋2t－r＝22s－r3t－s，
由于rt，所以上式左邊為奇數，右邊為偶數，故上式不可能成立，導致矛盾．
故數列{bn}中任意三項不可能成等差數列．
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