談談工科學生如何學習數學呢
不少工科學生特別是工科研究生對數學基礎不足感到壓力。確實，缺乏數學的幫助會使得學生們的研究缺乏思路和工具，缺乏捕捉問題的敏感性，缺乏抽取問題本質的能力，缺乏處理問題的技巧和方法。我們許多碩士生、博士生的研究論文缺乏創新性，數學基礎差是一個重要原因。這個講座談談工科學生如何學習數學的問題，希望對有愿望提高數學能力的同學有所幫助。我本人是電子信息領域中的一個研究者，不是數學家，這里講的希望能貼近工科學生的需要。作數學工作的同仁可以從這里了解到工科研究者對數學的一部分理解以及對數學家們的期望。
（一）讓興趣引導我們接近數學
有愿望學習數學，而數學內容常常不那么有趣。確實沒有多少人能堅持做那些令人發困的勞作。然而，有人談到過這樣的經驗：對數學的興趣需要發掘、引導和培養。我對此很為認同。有多種方法可能增加你對數學的興趣，當然沒有一種辦法可以減輕你需要付出的努力。多做數學題是提高數學能力和興趣的有效方法。不少成功的研究者都介紹過這個經驗。如果你正在學習數學，如果你發現一道道看似困難的問題能逐漸被你解答，就表明你已經進入了良好狀態。這是一個好的開端，會有克服者的喜悅，會不斷發現你自己的數學才能，有繼續進展的興趣和勁頭。如果你已經進入了研究工作，如果你不時抽出一點時間做一點數學趣題，對保持和提高你的數學思維活力一定有所幫助。
不少學生提出過這樣的問題：是不是必須先準備了深入寬廣的數學基礎才適合于進入研究工作？確實，我不知道有哪個非數學專業的研究者是那樣做的。而且認為那不是一個切合實際的方法。不過，準備在工科專業領域內做深入研究的學生們應當花一點時間讀一點最基礎的數學。除了工科大學已經教過的高等數學等課程外，可以讀一點實分析和近世代數的入門知識。了解一點關于集合、測度、連續統、Lebesgue積分，以及初等數論、群這些基本概念。學習這些基本知識不需要太多的時間，而對進一步學習數學理論很有必要。對于更深入廣泛的數學知識，不妨先采用“瀏覽學習法”：試著讀一讀，不太懂不要緊，但要求快一些，多一些。“瀏覽學習法”的目的是了解數學涉及的各個方面，為將來深入學習提供線索。不要小看那些似懂非懂的線索。如果你積累了較豐富的線索，它們會擴展你的思路，在需要的時候引導你較快地了解必須深入準備的基礎。缺乏線索，腦子里要么一片空白，要么產生一些不切實際的空想，自然難以作研究工作。
結合專業研究的需要來學習深入的數學理論是一個許多研究者都很認可的方法。事實上，對專業研究題目深入思考可能激發起對數學的高度興趣甚至產生出創新性成果。愛因斯坦的研究經歷是人們知道的。在愛因斯坦研究廣義相對論的早期，并非數學基礎十分豐厚。在他的同學格羅斯曼的幫助下，了解了黎曼幾何和張量分析。愛因斯坦在深入研究中感覺到，這種數學工具簡直是為他發展廣義相對論而準備的。他的工作不僅使廣義相對論發展到成熟，而且推動了黎曼幾何更加突飛猛進地進步。
絕非只是在物理等基礎研究領域能夠提出挑戰性問題和發現數學的應用。在應用科學包括工程學科領域內，處處都有挑戰性問題。當你試圖解決某個實際問題的時候，你總會感到手頭的數學不夠用。盡管現代數學已經取得了十分豐富的成果，而物理世界太復雜太豐富了，當今數學能夠描述和處理的問題還僅僅是一個很小的集合，而工科研究者手頭的數學恐怕會更少。
從自己從事的工程學科研究中抽取數學問題是我對工科學生的一個建議。不必苦苦尋求那些
被媒體追捧的“明珠”，除非你確實有準備和興趣。你在工程學科中的已有基礎是值得珍視的。這些基礎有可能幫助你抽取出很有意義的理論和數學問題。而發現這些問題，除了靈感以外，最靠得住的恐怕是對專業工作的專注、勤奮而開放的思考和數學基礎。
工科學生可以發揮自己在形象思維方面的長處去理解數學。如果這樣，你或許會發現數學中的若干知識不僅有趣，而且有用。這里說一說幾個常見的例子。
――正交性。這是布滿了數學和物理書籍的基本知識。為什么正交函數會如此廣泛地受到重視？從數學的角度看到的是基，用它來描述函數空間中任何一個元具有唯一性和可逆性；可以聯系映射的定義域和值域，從而研究解乃至求得解。從應用的角度看到的是一種基本工具或方法，可以使得例如函數變換、函數逼近、數據壓縮、數學物理問題的求解等問題變得容易處理和易于理解。與正交性相聯系的自然是非正交性。非正交性也很有用。例如用非正交基（標架）表示信號可以靈活地具有某些特別的性質。這種表示帶有一定冗余，但有一定抗損能力。
描述空間正交性最基本的數學原理是什么？合理的回答應該是Cauchy－Riemann方程。由此才有保角變換、Laplace方程、調和函數、Poisson方程等等。空間正交性對數學物理問題的研究者太有用了。有了這個直觀概念，就容易理解和猜測例如流體力學、引力場、電磁場等等領域中邊值問題的解的形式。例如波導中特別是在不規則波導中電磁波存在的模式、模式變化這些問題可以根據正交性來猜測和解釋，因為電場分量必定垂直于波導壁，而磁場分量必須平行于波導壁。
――無源性。討論無源性的數學家不多，但對于物理和工程，無源性非常重要。空間無源性隱含在解析函數的Cauchy積分定理中。事實上，例如用有限元方法處理大型力學計算問題時人們觀察到，求解方程的矩陣一般是主對角優勢的，這和求解一個無源電阻網絡時觀察到的現象相一致。其內因就是無源性，它保證了解的數值穩定性和迭代求解方法的快速收斂。在電路理論中證實，一類特別的解析函數稱為正實函數作為驅動阻抗，是無源網絡可綜合的充分必要條件。進而，無源而且無損的網絡在電子工程設計上非常有用。因為例如無源無損濾波器的特性隨元件參數變化的敏感度底，適合于工業生產。現代數字濾波器包括通信濾波器組的理論和設計都要應用和發展這些概念。
――最大熵和最小熵。熵是熱物理學中最先引入的'概念，用它表示能量在系統中分布的均勻程度，同時也表示熱和溫度的關系。一個系統達到了熱平衡，或達到了能量的均勻分布，則系統的熵達到最大。在通信領域中熵被用來作為信息的度量，表示平均信息量。如果熵最大，表明信源的不確定性最大，被傳送的信號寄載的信息自然就最多。在信息處理、信號估計，包括圖像處理應用中，熵的概念被借用來表示對解的先驗限制：最大熵限制表示解在數值分布上應該有一定的均勻性或平滑性；而最小熵限制表示解應該很不平滑，如同若干孤立點那樣。這兩種情況在應用中都可能出現。例如在若干反演問題中（如信號重建、復原、去噪、估計等），為了抑制噪聲，可以將最大熵作為對解的附加限制。在另外的情況下，例如希望的解是點狀的星云，或者是如同若干孤立噪聲那樣的巖層反射序列，或者是只含一個非零元的理想信道，對這些情況就可以附加最小熵限制。注意我們這里使用的“概念被借用”說法。其實這是研究中的常用方法。如果你的視野廣些，積累多些，就有可借用的機會。――距離和相似性。距離這個概念在數學中太重要了，它是定義度量空間的第一要素。有了距離，才好討論度量空間中元和元之間的相互關系，才好討論按距離的收斂性。有多種距離的具體形式適合于研究不同的數學問題。典型的例子有用函數差值上界定義的距離（一致收斂距離）和按函數差值平方積分定義的距離（均方收斂距離）。典型地，許多問題需要通過最優化一個泛函指標來表達，這個指標就是距離。工科研究者十分關注距離的一個直觀含義：函數的相似性度量。自然地，用距離描述的相似性是很窄的一類相似性。即使是這樣，它的應用已經遍及物理和工程的許多領域。與電子信息領域相關的應用例子有信號（圖像）重建、恢復、估計等等。兩個隨機變量的在統計上是否相關或獨立，或者它們的統計特性是否相似，為檢驗這些問題在統計學中引入了Kullback-Leibler型距離和Bhattacharyya距離（或稱為差離度，divergence）。這些距離不滿足三角不等式，稱為廣義距離。它們在統計模式分析、目標識別和分類、圖像分割和配準等方面已經有重要應用。在工程研究中你可以利用手頭掌握的數學不等式，定義新的距離或廣義距離，它或許有某種特別的性質。
人感知物理世界，哪些事和物按什么方式和度量彼此相似，這可能是最富魅力的科學問題之一。相似這個概念既直觀又抽象甚至神秘。例如繪畫家可以將一個人的形象用寫實畫、印象畫、線描畫、甚至各種形態的漫畫表現出來，我們可以認識他，并認為和照片上的他是同一個人。問題是如何從數學上定義這些圖畫中人的相似性？
如果你細心思考，數學中處處都可以發現很有趣的問題，這些問題可以在物理和工程中找到應用背景。
物理和工程學科中包含大量的數學。有的工科學習者對數學表達不經意，甚至厭煩，這種心態會妨礙知識的獲得。如果你愿意花一點時間去讀懂一些重要的數學表達，你會發現不僅在認識的深度上會大大不同，而且會引出樂趣甚至創新性的認識。這里不妨舉一個大家熟悉的例子。卷積的表達式為y(t)=∫abx(t-τ)h(τ)dτ。我們的教科書中總是這樣解說的：在每個時間點t，將x(τ)翻轉為x(-τ)，再平移為x(t-τ)，與h(τ)乘積的結果，求面積，就得到卷積的結果。這個解說是沒錯的，并且因為x(τ)要被翻轉，成為“卷積”這個稱呼的來源。但問題是，這個解釋符合物理事實嗎？或者說在物理上的一個卷積過程，要求一個物理量在時間上（或空間上）必須被翻轉嗎？這顯然不是事實！現在的問題出在哪里？問題出在剛才的解說僅僅是一個數學解說。另一種解說就沒有這樣的困難：將x(t)平移一個時間量τ成為x(t-τ)，乘在τ處的函數值h(τ)，取遍定義h(τ)的所有τ，將乘積累積起來，就得到卷積的結果。后一種解釋其實是最老的解釋：疊加原理。正是按照這種解釋，可以構造出用物理硬件實施卷積計算的卷積器。“翻轉”這個概念應該說造成了某些負面后果。例如，考慮兩個外形不同的多邊形（你不妨在紙上畫一個任意的三角形和一個任意的四邊形，假定圖形內數值是1，圖形外是0），這兩個圖形卷積后，結果是什么外形？你可以試圖通過上面的兩種解釋從概念上得到結果。你會發現，從“翻轉”解釋出發會使你頭痛，而從后一種解釋得到結果就很直觀和容易。不要小看了這里的問題，它聯系著某些深入的數學：代數幾何、多項式代數和分配函數理論。
另一個簡單例子是矩陣的奇異值分解（SVD）。這種方法常常用于圖像的特征描述、分類和識別。人們將圖像離散化為數值數組，將數組作為矩陣，計算它的若干個顯著的奇異值，作為描述圖像特征的一組特征量。這樣做合理嗎？或者說，若干個顯著奇異值能描述圖像灰度分布特征嗎？回答卻是否定的。事實上，你需要仔細解讀一下SVD的數學表達式。注意每對奇異向量的乘積uiviT是一個可分圖像。SVD表達式表明，用若干個可分圖像按奇異值進行強度加權后疊加在一起，可以逼近原圖像。因此，除了幾個顯著奇異值外，如何描述幾個顯著的可分圖像的特征是你可以發展的工作。
從物理和工程上解釋數學是工科研究者的優勢，不要忘記了這一點。我們還可以舉一個抽象一點的例子。同倫是數學中的一個概念。一個拓撲流形或函數如果能夠通過連續變形變成另一個拓撲流形或函數，我們就說這兩個拓撲流形或函數彼此同倫。同倫論是數學中一個重要研究領域，并且與Riemann幾何的研究密切關聯。僅僅是同倫這個概念對工程就很有用。在大規模集成電路（VLSI）設計中需要通過電路仿真，檢查設計出的電路是不是符合設計要求。一個基本的檢查是要計算各個晶體管在加電后的工作點（電壓和電流）。晶體管特性是非線性的，數量多，相互直流互連。直接處理這樣的非線性電路問題很困難，并且可能是多解的。電路仿真程序SPICE的研究者提出了一種“源步法”，就是利用了同倫的思想。讓電源電壓從0開始，連續小步地逐步升到額定值，計算隨之逐步迭代進行。這樣在每一步，都是解一個線性化的電路問題，并且計算過程符合加電的實際物理過程。這種處理大型非線性計算問題的方法應該不限于電路計算的應用。
不同應用領域可以有關于數學概念和表達的不同解讀，其實這正是數學的奧妙之處。解讀數學需要耐性。如果你想把握它，就花一點時間去解讀它。
（二）努力尋求數學概念的淺近解釋
工科學生有形象思維的強勢，但在抽象思維方面常常處于弱勢。實際上，學生們進入學習多少都有這樣的特點。好的教育工作者會注意這個特點。例如前蘇聯數學家柯爾莫哥羅夫建議講解數學時要能用其他科學領域的例子來吸引學生，增進理解，培養理論聯系實際的能力。并且要求以清楚的解釋和廣博的知識來吸引學生進行思維運動。柯爾莫哥羅夫的學生、數學家Arnold更是強烈地呼吁數學教育必須結合物理，充分利用幾何直觀，反對數學教育的非幾何化和脫離物理。事實上，用物理和工程例子將數學概念形象化和具體化，達到淺近易懂，是數學家對學生（不只是工科學生）的最重要幫助。在50年代莫斯科大學組織了一批頂級的數學家寫了數學普及名著“數學――它的內容、方法和意義”。直到現在，世界范圍內的科學工作者中許多人都曾經或正在從該書獲得入門知識。
許多學者都承認一個事實：高深理論的原始概念其實是簡單的。只是不少“專著”直接從高深理論開始，忽略了對基礎背景的介紹，學生接受起來就覺得抽象難懂。工科學生要想真正掌握數學理論，還不得不尋求一個具體化的或形象化理解，最好有一個物理的或工程的例子。如果得不到老師的指導，你就得準備多花一點功夫。有一些方法可以供參考。其一是盡量利用百科全書那樣的工具，包括Wikipedia的網絡百科，它常常可以幫助你盡可能淺近地理解基本知識。其二是多參閱幾本講述同一個理論的書或涉及該理論的文章，從中發現你可以理解的內容。如果一時難以找到很切合的參考，可以暫時放一放，不必鉆牛角尖。常常，你在工程學科中的研究積累會幫助你開拓思路，甚至找到領悟的靈感。
工科學生有必要增強自信。某些數學概念內涵的神秘性其實只是我們自己的感覺而已。當然，抽象和嚴格是數學科學性的精髓。但這并不妨礙可以將數學概念和物理或幾何直觀聯系起來。我們這里解說一兩個例子，如有謬誤請專家不吝賜教。
――緊集（Compactset），閉區間或有界閉集概念的拓廣。“有限維閉區間”是一個易懂、易用的概念。它有一個很直觀的性質，就是它在每個維上有下確界和上確界。此外，孤立點也很特別，不需要考慮它的任何“近鄰”。引入“緊集”的主要動因是為了擴展有限維閉區間的概念，使得可以包含無窮維空間的點集，或者是由一類函數組成的集合。緊集的機巧定義就達到了這個目的。
緊集最有用的性質是它的有界性和可分性。這里，一個集合可分，是指存在著一個可數集合在該集中稠密。在有限維空間中，緊集的充分必要條件是有界和閉性。同時，在Hausdorff空間中，緊集都是閉的。這含蓋了分析中常用的空間，如所有的距離空間，拓撲群，和拓撲流形。在非Hausdorff空間可以構造出例子表明緊集的閉性不一定成立。
緊集的例子如：有限維閉區間；Rn中的有限個孤立點；含極限點在內的孤立有界點列集合；所有一致有界并等度連續的函數集合。在一維上的“緊支集”可以是指一個閉區間，也可以指實軸上一組有限個離散柵點。
Hausdorff空間是指符合分離公理的拓撲空間：如果集合中有兩個元不相等，則它們必定有不同的鄰域。細細思考一下你會發現，分離公理事實上是序列收斂性論證的基本依據：按鄰域收斂，并且收斂有唯一性。
――拓撲（Topology），集合元素之間相互接觸或連接的關系。
基本的拓撲學研究幾何形體在連續變形下保持不變的性質，例如連通性。典型的問題有哥尼斯堡七橋問題，四色問題，布線平面化問題等等。
既然拓撲是指集合元素的接觸或連接關系，它顯然是更一般的幾何性質，而不限于常規的Euclid幾何性質。例如，電路拓撲圖上兩個節點之間有支路相連，這可以與物理連接關系一致，但與物理元件的實際空間位置不必一致。
當集合元素在某個連續域中取值時，就需要將問題放到“拓撲空間”中去研究。在拓撲空間中，常規的距離定義不一定有意義，而點列的收斂可以通過“充分小鄰域”和“覆蓋”這樣的概念來定義和論證。一般拓撲學使用公理化方法研究連續性問題，概念變得更加抽象，并一直與微分幾何、抽象代數等學科并行發展。
網絡拓撲，是指網絡的基本元素“頂點”和“邊”的連接關系。例如用頂點來表示一個國家，兩個頂點之間有邊相連，表示兩個國家接壤。關于網絡拓撲的學科分支通常稱為圖論。用圖論方法研究的典型數學問題有一大類組合優化問題，最優布線問題，流圖分析，邏輯分析，交通流和數據流分析等等。
雖然拓撲是幾何形體在連續變形下不變的性質，但在應用中發現限制形體（結構）的拓撲不變可能得不到最優解。于是希望，如果有必要，能夠通過連續演化實現拓撲結構的改變。這一般地還是一個未解決問題，但也有解決得好的例子。例如希望將二維平面上的單連通區域連續地演化出多連通區域或多個單連通區域，直接在二維平面上不大好辦。但如果擴充到三維，構造一個三維函數，并使用水平截集獲得二維區域，就能容易地解決。這個方法已經成功地用于圖像的活動圍道分割等處理算法。
――流形（Manifold），受一定約束的某個（一維或多維）變量所有可能狀態的集合。在數學文獻中，流形有一個抽象的定義：流形是一類拓撲空間，其中每個點都有鄰域，而這種鄰域與Rn中的單位開球在拓撲上是同胚的。
流形的含義十分廣泛，并且可以定義各種各樣的流形。空間是流形。然而流形可以是某種“可彎曲”的空間（通常將Euclid空間視為“平直”的空間）。3維空間中的球面是流形的一個例子，而球面上任何一條經線或緯線是一個子流形。基于球面建立的幾何學與Euclid幾何學是不同的。
在物理上流形這個概念有一個重要應用，用它來表現某個受約束的物理量的全局行為。例如，機器臂可達的所有極限位置。在模式識別問題中（如人臉識別），描述單個個體不同形態的一系列N維特征量樣本構成N維空間中的一個流形上。不同個體有不同的流形。這些流形構成了進行模式識別的基礎。從這個例子可以看出，即使你關注的流形不一定能夠被解析地表達出來，它也為你提供了一個處理問題的明晰概念。
微分流形或平滑流形是指可在其上實施微分運算的流形。
想象在曲面微分流形上有兩個十分靠近的點，它們之間的坐標差為{dxi}，其Euclid距離就是dL=(∑dxi2)1/2。然而，從一點只能沿流形的測地線到另一點，沿測地線的距離ds會大于Euclid距離。于是將ds定義為ds=(∑gijdxidxj2)1/2。其中(gij)是一個沿流形表面逐點定義的對稱正定矩陣，稱為Riemann度量，用來描述對距離元的校正。定義了Riemann度量的微分流形稱為Riemann流形。
在信息處理技術中可以將概率分布模型p(y|x;θ)全體視為參數空間θ中的一個Riemann流形。當參數θ變成θ+Δθ時，p(y|x;θ)和p(y|x;θ+Δθ)之間的Kullback-Leibler距離正好等于(ΔθTGΔθ)，這里G是Fisher信息矩陣。由此可見，G正好是這種Riemann流形的Riemann度量。發展這些概念可以建立起概率模型參數估計的新方法，用于例如盲源分離、盲辨識、神經網絡學習算法等等。由于流形有直觀的幾何解釋，這種數學概念和方法又稱為信息幾何。以上所解說的幾個數學概念僅僅希望起到拋磚引玉的作用。更多的入門知識顯然不是這樣的講座適合介紹的，應該期望得到數學家門的幫助。我們希望工科學生消除數學的神秘感。柯爾莫哥羅夫說，應該把泛函分析方法當作日常工具來應用。雖然我們一下子作不到，只要不忘記有機會就用它，你會發現，你論文的學術水準會有所提高，得到的評價會有所不同。
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