高中數學復數的幾何意義測試題
一、選擇題
1．如果復數a＋bi(a，bR)在復平面內的對應點在第二象限，則()
A．a0，b0
B．a0，b0
C．a0，b0
D．a0，b0
[答案] D
[解析] 復數z＝a＋bi在復平面內的對應點坐標為(a，b)，該點在第二象限，需a0且b0，故應選D.
2．(2010北京文，2)在復平面內，復數6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應的復數是()
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
[答案] C
[解析] 由題意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中點C(x，y)，則x＝6－22＝2，y＝5＋32＝4，
點C對應的復數為2＋4i，故選C.
3．當231時，復數z＝(3m－2)＋(m－1)i在復平面上對應的點位于()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] D
[解析] ∵23＜m＜1，3m－20，m－1＜0，
點(3m－2，m－1)在第四象限．
4．復數z＝－2(sin100－icos100)在復平面內所對應的點Z位于()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] C
[解析] z＝－2sin100＋2icos100.
∵－2sin1000,2cos1000，
Z點在第三象限．故應選C.
5．若a、bR，則復數(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i對應的點在()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] D
[解析] a2－6a＋10＝(a－3)2＋10，－b2＋4b－5
＝－(b－2)2－10.所以對應點在第四象限，故應選D.
6．設z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，tR，則以下結論中正確的是()
A．z對應的點在第一象限
B．z一定不是純虛數
C．z對應的點在實軸上方
D．z一定是實數
[答案] C
[解析] ∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可負、可為0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋11，排除A、B、D，選C.
7．下列命題中假命題是()
A．復數的模是非負實數
B．復數等于零的充要條件是它的模等于零
C．兩個復數模相等是這兩個復數相等的必要條件
D．復數z1z2的充要條件是|z1|＞|z2|
[答案] D
[解析] ①任意復數z＝a＋bi(a、bR)的模|z|＝a2＋b20總成立．A正確；
②由復數相等的條件z＝0a＝0b＝0.|z|＝0，故B正確；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2R)
若z1＝z2，則有a1＝a2，b1＝b2，|z1|＝|z2|
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i時|z1|＝|z2|，故C正確；
④不全為零的兩個復數不能比較大小，但任意兩個復數的模總能比較大小，D錯．
8．已知復數z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，則實數x的取值范圍是()
A．－452
B．x2
C．x－45
D．x＝－45或x＝2
[答案] A
[解析] 由題意知(x－1)2＋(2x－1)210，
解之得－452.故應選A.
9．已知復數z1＝a＋bi(a，bR)，z2＝－1＋ai，若|z1||z2|，則實數b適合的條件是()
A．b－1或b1
B．－11
C．b1
D．b0
[答案] B
[解析] 由|z1||z2|得a2＋b2a2＋1，
b21，則－11.
10．復平面內向量OA表示的復數為1＋i，將OA向右平移一個單位后得到向量OA，則向量OA與點A對應的復數分別為()
A．1＋i,1＋i
B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i
D．2＋i,1＋i
[答案] C
[解析] 由題意OA＝OA，對應復數為1＋i，點A對應復數為1＋(1＋i)＝2＋i.
二、填空題
11．如果復數z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(mR)對應的點在第一象限，則實數m的取值范圍為________________．
[答案] －，－1－5232，＋
[解析] 復數z對應的點在第一象限
需m2＋m－104m2－8m＋30解得：m－1－52或m32.
12．設復數z的`模為17，虛部為－8，則復數z＝________.
[答案] 15－8i
[解析] 設復數z＝a－8i，由a2＋82＝17，
a2＝225，a＝15，z＝15－8i.
13．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(mR)，若復數z對應點位于復平面上的第二象限，則m的取值范圍是________．
[答案] 35
[解析] 將復數z變形為z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i
∵復數z對應點位于復平面上的第二象限
m2－8m＋150m2－m－60解得35.
14．若tR，t－1，t0，復數z＝t1＋t＋1＋tti的模的取值范圍是________．
[答案] [2，＋)
[解析] |z|2＝t1＋t2＋1＋tt22t1＋t1＋tt＝2.
|z|2.
三、解答題
15．實數m取什么值時，復平面內表示復數z＝2m＋(4－m2)i的點
(1)位于虛軸上；
(2)位于一、三象限；
(3)位于以原點為圓心，以4為半徑的圓上．
[解析] (1)若復平面內對應點位于虛軸上，則2m＝0，即m＝0.
(2)若復平面內對應點位于一、三象限，則2m(4－m2)0，解得m－2或02.
(3)若對應點位于以原點為圓心，4為半徑的圓上，
則4m2＋(4－m2)2＝4
即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝2.
16．已知z1＝x2＋x2＋1i，z2＝(x2＋a)i，對于任意的xR，均有|z1||z2|成立，試求實數a的取值范圍．
[解析] |z1|＝x4＋x2＋1，|z2|＝|x2＋a|
因為|z1||z2|，所以x4＋x2＋1|x2＋a|
x4＋x2＋1(x2＋a)2(1－2a)x2＋(1－a2)0恒成立．
不等式等價于1－2a＝0或1－2a＝－4(1－2a)(1－a2)0
解得－112
所以a的取值范圍為－1，12.
17．已知z1＝cos＋isin2，z2＝3sin＋icos，當為何值時
(1)z1＝z2；
(2)z1，z2對應點關于x軸對稱；
(3)|z2|2.
[解析] (1)z1＝z2cos＝3sinsin2＝cos
tan＝332sincos＝cos＝2k6(kZ)．
(2)z1與z2對應點關于x軸對稱
cos＝3sinsin2＝－cos＝k6(kZ)2sincos＝－cos
＝2k＋76Z)．
(3)|z2|(3sin)2＋cos22
3sin2＋cos22sin212
－k4(kZ)．
18．已知復數z1＝3－i及z2＝－12＋32i.
(1)求|z1|及|z2|的值并比較大小；
(2)設zC，滿足條件|z2||z1|的點Z的軌跡是什么圖形？
[解析] (1)|z1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2
|z2|＝－12－32i＝1.|z1|＞|z2|.
(2)由|z2||z1|，得12.
因為|z|1表示圓|z|＝1外部所有點組成的集合．
|z|2表示圓|z|＝2內部所有點組成的集合，
12表示如圖所示的圓環．
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